今天我們來和大家說說世界七大數學難題，這些可都是世界上最難的數學題哦。 說到世界七大數學難題你會想到什麼，我最先想到的是哥德巴赫猜想，但其實哥德巴赫猜想並不是世界七大數學難題之一，下面就讓我們來一起看看當今科技如此發達的情況下還有哪些能被稱為世界七大數學難題吧。
所謂的世界七大數學難題其實是於2000年5月24日由由美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute,CMI）公佈的七個數學難題。也被稱為千禧年大獎難題（Millennium Prize Problems）。 根據克雷數學研究所訂定的規則，所有難題的解答必鬚髮表在數學期刊上，並經過各方驗證，只要通過兩年驗證期，每解破一題的解答者，會頒發獎金100萬美元。 這些難題是呼應1900年德國數學家大衛·希爾伯特在巴黎提出的23個歷史性數學難題，經過一百年，許多難題已獲得解答。而千禧年大獎難題的破解，極有可能為密碼學以及太空、通訊等領域帶來突破性進展。
世界七大數學難題分別是：
- P/NP問題（P versus NP）
- 霍奇猜想（The Hodge Conjecture）
- 龐加萊猜想（The Poincaré Conjecture），此猜想已獲得證實。
- 黎曼猜想（The Riemann Hypothesis）
- 楊-米爾斯存在性與質量間隙（Yang-Mills Existence and Mass Gap）
- 納維-斯托克斯存在性與光滑性（Navier-Stokes existence and smoothness）
- 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）
世界七大數學難題之一：P/NP問題
P/NP問題是在理論資訊學中計算複雜度理論領域裡至今沒有解決的問題，它也是克雷數學研究所七個千禧年大獎難題之一。P/NP問題中包含了複雜度類P與NP的關係。1971年史提芬·古克（Stephen A. Cook）和Leonid Levin相對獨立的提出了下面的問題，即是否兩個複雜度類P和NP是恆等的（P=NP?）。 複雜度類P即為所有可以由一個確定型圖靈機在多項式表達的時間內解決的問題；類NP由所有可以在多項式時間內驗證解是否正確的決定問題組成，或者等效的說，那些解可以在非確定型圖靈機上在多項式時間內找出的問題的集合。很可能，計算理論最大的未解決問題就是關於這兩類的關係的： P和NP相等嗎？ 在2002年對於100研究者的調查，61人相信答案是否定的，9個相信答案是肯定的，22個不確定，而8個相信該問題可能和現在所接受的公理獨立，所以不可能證明或證否。[1] 對於正確的解答，有一個1,000,000美元的獎勵。 NP-完全問題（或者叫NPC）的集合在這個討論中有重大作用，它們可以大致的被描述為那些在NP中最不像在P中的（確切定義細節請參看NP-完全理論）。電腦科學家現在相信P, NP，和NPC類之間的關係如圖中所示，其中P和NPC類不交。
假設P ≠ NP的複雜度類的圖解。如P = NP則三個類相同。 簡單來說，P = NP問題問道：如果是／不是問題的正面答案可以很快驗證，其答案是否也可以很快計算？這裡有一個給你找點這個問題的感覺的例子。給定一個大數Y，我們可以問Y是否是複合數。例如，我們可能問53308290611是否有非平凡的因數。答案是肯定的，雖然手工找出一個因數很麻煩。從另一個方面講，如果有人聲稱答案是"對，因為224737可以整除53308290611"，則我們可以很快用一個除法來驗證。驗證一個數是除數比找出一個明顯除數來簡單得多。用於驗證一個正面答案所需的資訊也稱為證明。所以我們的結論是，給定正確的證明，問題的正面答案可以很快地（也就是，在多項式時間內）驗證，而這就是這個問題屬於NP的原因。雖然這個特定的問題，最近被證明為也在P類中（參看下面的關於"質數在P中"的參考），這一點也不明顯，而且有很多類似的問題相信不屬於類P。 像上面這樣，把問題限制到“是／不是”問題並沒有改變原問題（即沒有降低難度）；即使我們允許更複雜的答案，最後的問題（是否FP = FNP）是等價的。
關於證明的難度的結果
雖然百萬美元的獎金和投入巨大卻沒有實質性結果的大量研究足以顯示該問題是困難的，但是還有一些形式化的結果證明為什麼該問題可能很難解決。 最常被引用的結果之一是設計神諭。假想你有一個魔法機器可以解決單個問題，例如判定一個給定的數是否為質數，可以瞬間解決這個問題。我們的新問題是，若我們被允許任意利用這個機器，是否存在我們可以在多項式時間內驗證但無法在多項式時間內解決的問題？結果是，依賴於機器能解決的問題，P = NP和P ≠ NP二者都可以證明。這個結論帶來的後果是，任何可以透過修改神諭來證明該機器的存在性的結果不能解決問題。不幸的是，幾乎所有經典的方法和大部分已知的方法可以這樣修改（我們稱它們在相對化）。 如果這還不算太糟的話，1993年Razborov和Rudich證明的一個結果表明，給定一個特定的可信的假設，在某種意義下“自然”的證明不能解決P = NP問題。[2] 這表明一些現在似乎最有希望的方法不太可能成功。隨著更多這類定理得到證明，該定理的可能證明方法有越來越多的陷阱要規避。 這實際上也是為什麼NP完全問題有用的原因：若對於NP完全問題存在有一個多項式時間演算法，或者沒有一個這樣的演算法，這將能用一種相信不被上述結果排除在外的方法來解決P = NP問題。
世界七大數學難題之二：霍奇猜想
霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關於非奇異復代數簇的代數拓樸和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。它在霍奇的著述的一個結果中出現，他在1930至1940年間通過包含額外的結構豐富了德拉姆上同調的表述，這種結構出現於代數簇的情況（但不僅限於這種情況）。
世界七大數學難題之三：龐加萊猜想
龐加萊猜想最早是由法國數學家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數學研究所懸賞的數學方面七大千禧年難題之一。2006年確認由俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼（俄文： ）完成最終證明，他也因此在同年獲得菲爾茲獎，但並未現身領獎。
基本描述
在1900年，龐加萊曾聲稱，用他基於恩裡科·貝蒂的工作而發展出的同調論，可以判定一個三維流形是否三維球面。不過，他在1904年發表的一篇論文中，舉出了一個反例，現在稱為龐加萊同調球面，與三維球面有相同的同調群。他引進了一個新的拓樸不變數，稱為基本群，並且證明他的反例與三維球面的基本群不同。三維球面有平凡基本群，也就是說是單連通的。他提出以下猜想： 任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。 上述簡單來說就是：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓樸等價於三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個柳橙表面的橡皮筋，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想像同樣的橡皮筋以適當的方向被伸縮在一個甜甜圈表面上，那麼不扯斷橡皮筋或者甜甜圈，是沒有辦法把它不離開表面而又收縮到一點的。我們說，柳橙表面是“單連通的”，而甜甜圈表面則不是。 該猜想是一個屬於代數拓樸學領域的具有基本意義的命題，對“龐加萊猜想”的證明及其帶來的後果將會加深數學家對流形性質的認識，甚至會對人們用數學語言描述宇宙空間產生影響，對於一維與二維的情形，此猜想是對的，現在已經知道，它對於任何維數都是對的。
證明歷史
20世紀 這個問題曾經被擱置了很長時間，直到1930年懷特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已經證明然而又收回，才再次引起了人們的興趣。懷特海提出了一些有趣的三流形實例，其原型現在稱為懷特海流形。 1950和1960年代，又有許多著名的數學家包括R·H·賓（R. H. Bing）、沃夫岡·哈肯（Wolfgang Haken）、愛德華·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos聲稱得到了證明，但最終都發現證明存在致命缺陷。1961年，美國數學家史提芬·斯梅爾採用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明瞭五維以上的龐加萊猜想。這段時間對於低維拓樸的發展非常重要。這個猜想逐漸以證明極難而知名，但是證明此猜想的工作增進了對三流形的理解。1981年美國數學家麥克·傅利曼（Michael Freedman）證明瞭四維猜想，至此廣義龐加萊猜想得到了證明。 1982年，理查德·哈密頓引入了“裡奇流”的概念，並以此證明瞭幾種特殊情況下的龐加萊猜想。在此後的幾年中，他進一步地發展了此方法，後來被佩雷爾曼的證明所使用。 21世紀
俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼
在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格裡戈裡·佩雷爾曼在arXiv.org發表了三篇論文預印本，並聲稱證明瞭幾何化猜想。 在佩雷爾曼之後，先後有3組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密歇根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛；以及理海大學的曹懷東和中山大學的朱熹平。 2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎，但佩雷爾曼拒絕接受該獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。 2010年3月18日，克雷數學研究所對外公佈，俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼因為破解龐加萊猜想而榮膺千禧年大獎[7][8]。 最終證明爭議 2006年6月3日，曹懷東和朱熹平公開聲稱佩雷爾曼對於龐加萊猜想證明中有漏洞，由他們補全，做出最終證明，於《亞洲數學期刊》發表論文。據報導，丘成桐曾表示曹懷東和朱熹平才是第一個給出了龐加萊猜想的完全證明。 2006年8月28日出版的《紐約客》雜誌發表西爾維亞·娜莎和大衛·格魯伯的長文《流形的命運——傳奇問題以及誰是破解者之爭》。該文介紹了佩雷爾曼等人的工作並描畫了“一個令人厭惡的丘成桐的形象，暗示他為他的學生曹懷東和他支持的朱熹平的工作宣傳了過多的功勞。”[11]， 因曹懷東與朱熹平的論文未經同行評審，丘成桐被質疑以期刊主編的身分，發表有利於他們研究團隊的論文成果。此文發表後，引發了很大爭議。丘成桐表示可能採取法律行動，由律師發出信函，要求雜誌更正，包括漢密爾頓在內的多名數學家發表聲明表示文章沒有正確地反映他們對丘的評價。 一名加州理工學院的研究者指出曹、朱論文中引理7.1.2與克萊納和洛特2003年發表的成果幾乎完全相同。據此，洛特指責曹和朱兩人有剽竊的行為。此後，曹懷東和朱熹平在原刊發表糾錯聲明，確認了此引理是克萊納和洛特的成果，解釋沒有指明出處是由 於編輯上的差錯，並為此向兩位原作者致歉。在12月發表的修正論文《龐加萊猜想與幾何化猜想的漢米爾頓－佩雷爾曼證明》（Hamilton- Perelman's Proof of the Poicare Conjecture and the Geometrization Conjecture）中，曹懷東與朱熹平不再宣稱是由他們做出最終證明，他們的工作只是對漢米爾頓－佩雷爾曼證明做出詳盡闡述。
世界七大數學難題之四：黎曼猜想
黎曼猜想由德國數學家波昂哈德·黎曼（Bernhard Riemann）於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題(猜想界皇冠)。多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。 1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想與強條件的素數定理
等價。現在已經驗證了最初的1,500,000,000個素數對這個定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今尚無人給出證明。 黎曼猜想所以被認為是當代數學中一個重要的問題，主要是因為很多深入和重要的數學和物理結果都能在它成立的大前提下被證明。大部分數學家也相信黎曼猜想是正確的（約翰·恩瑟·李特爾伍德與塞爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格於晚年部分改變了他的懷疑立場。在1989年的一篇論文中，他猜測黎曼猜想對更廣泛的一類函數也應當成立。）克雷數學研究所設立了$1,000,000美元的獎金給予第一個得出正確證明的人。
歷史
黎曼1859年在他的論文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了這個著名的猜想，但它並非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道ζ函數的不平凡零點對稱地分佈在直線s = ½ + it上，以及他知道它所有的不平凡零點一定位於區域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。 1896年，雅克·阿達馬和Charles Jean de la Vallée-Poussin分別獨立地證明瞭在直線Re(s) = 1上沒有零點。連同了黎曼對於不非凡零點已經證明瞭的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處於區域0 < Re(s) < 1上。這是素數定理第一個完整證明中很關鍵的一步。 1900年，大衛·希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的23條問題中，與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第8號問題。同時黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數學研究所的千禧年大獎數學難題的。希爾伯特曾說，如果他在沉睡1000年後醒來，他將問的第一個問題便是：黎曼猜想得到證明瞭嗎？[1] 1914年，高德菲·哈囉德·哈代證明瞭有無限個零點在直線Re(s) = ½上。然而仍然有可能有無限個不平凡零點位於其他地方（而且有可能是最主要的零點）。後來哈代與約翰·恩瑟·李特爾伍德在1921年及塞爾伯格在1942年的工作（臨界線定理）也就是計算零點在臨界線Re(s) = ½上的平均密度。 近年來的工作主要集中於清楚的計算大量零點的位置（希望藉此能找到一個反例）以及對處於臨界線以外零點數目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。
世界七大數學難題之五：楊-米爾斯存在性與質量間隙
楊－米爾斯規範場論與質量間隙是理論物理中規範場論的一道基礎問題，必須在數學上嚴格證明楊－米爾斯場論存在（即需符合構造性量子場論的標準），亦要證明它們有質量間隙，即模型所預測的最輕單粒子態為正質量。2000年，克雷數學研究所懸賞各一百萬元的數學七大千禧年難題，其中一道題為楊－米爾斯規範場論同質量間隙。
背景 我們所知多數非凡（nontrivial）－－即有相互作用－－的4維量子場論皆有cutoff scale的有效場論。因多數模型的beta-函數是正的，似乎大多數這類模型皆有一支Landau pole，因我們完全不清楚它們有沒有非凡紫外定點。故此，若每一scale上皆定義有這樣的量子場論[註 1]，它只可能為單純的自由場論。 然而，有不可交換結構群的楊-米爾斯理論（無夸克）例外。它有一種性質稱為漸近自由，指它有一單純的紫外定點。因此，我們可以寄望它成為非凡的構造性（constructive）四維量子場模型。 不交換群Yang-Mills理論的色禁閉性已有符合理論物理嚴謹性的證明，但未有符合數理物理嚴謹性的證明[註 3]。基本上，換言之，過了QCD尺度（或者這裡應稱為禁閉尺度，因為無夸克），那些色荷粒子被色動力學的“流管”連著，所以粒子間有線性勢（“弦”張力x長度）。所以膠子之類自由賀粒子不可能存在。若沒有這些禁閉效應，我們應見到零質量的膠子；但因它們被禁閉，我們只見到不帶色荷的膠子束綁態——膠波。凡膠波皆質量，所以我們期望質量間隙。 格點規範場論的結果令不少工作者相信，這個模型真的有禁閉現象（由Wilson圈的真空期望值的下降的“面積規律”(area law)看出），但這項結果還沒有符合數學的嚴慬性。
世界七大數學難題之六：納維-斯托克斯存在性與光滑性
納維-斯托克斯存在性與光滑性是有關納維－斯托克斯方程其解的數學性質有關的數學問題，是美國克雷數學研究所在2000年提出的7個千禧年大獎難題中的一個問題。 納維－斯托克斯方程是流體力學的重要方程，可以描述空間中流體（液體或氣體）的運動。納維－斯托克斯方程的解可以用到許多實務應用的領域中。不過對於納維－斯托克斯方程解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程的解常會包括紊流。雖然紊流在科學及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學問題之一。 許多納維－斯托克斯方程解的基本性質都尚未被證明。例如數學家就尚未證明在三維座標，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這様的解存在時，其動能有其上下界，這就是“納維-斯托克斯存在性與光滑性”問題。 由於瞭解納維－斯托克斯方程被視為是瞭解難以捉摸的紊流現象的第一步，克雷數學研究所在2000年5月提供了美金一百萬的獎金給第一個提供紊流現象相關資訊的人，而不是給第一個創建紊流理論的人。基於上述的想法，克雷數學研究所設定了以下具體的數學問題。
部分結果
二維空間下的納維-斯托克斯問題已在1960年代得證：存在光滑及全局定義解的解。 在初速
相當小時此問題也已得證：存在光滑及全局定義解的解。 若給定一初速
，且存在一有限、依
而變動的時間T，使得在
的範圍內，納維-斯托克斯方程有平滑的解，還無法確定在時間超過T後，是否仍存在平滑的解。 數學家讓·勒雷在1934年時證明瞭所謂納維-斯托克斯問題弱解的存在，此解在平均值上滿足納維-斯托克斯問題，但無法在每一點上滿足。
世界七大數學難題之七：貝赫和斯維訥通-戴爾猜想
貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（英文：Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），簡稱為BSD猜想。 設
是定義在代數數域
上的橢圓曲線，
是
上的有理點的集合，已經知道
是有限生成交換群。記
是
的L函數，則此猜想如下：
數學家總是被諸如
那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)。相反，如果z(1)不等於0。那麼只存在著有限多個這樣的點。 好吧，我承認我確實看不懂這世界七大數學難題是什麼東西，我想大多數人也和我一樣，根本不知道這講的是什麼，還是期待那些個神人去解答這些問題吧。
